Perbezaan Antara Nombor Rasional dan Irrational

Istilah "nombor" membawa kepada minda kita yang umumnya dikelaskan sebagai nilai integer positif yang lebih besar daripada sifar. Kelas-kelas nombor lain termasuk nombor keseluruhan dan pecahan, kompleks dan nombor sebenar dan juga nilai integer negatif.

Memperluas klasifikasi nombor selanjutnya, kita temui rasional dan tidak rasional nombor. Nombor rasional adalah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan. Dalam erti kata lain, nombor rasional boleh ditulis sebagai nisbah dua nombor.

Sebagai contoh, pertimbangkan, nombor itu 6. Ia boleh ditulis sebagai nisbah dua nombor. 6 dan 1, membawa kepada nisbah 6/1. Begitu juga, 2/3, yang ditulis sebagai pecahan, adalah nombor rasional.

Kita boleh, dengan itu, menentukan nombor rasional, sebagai nombor yang ditulis dalam bentuk pecahan, di mana kedua pengangka (nombor di atas) dan penyebut (nombor di bahagian bawah) adalah nombor penuh. Dengan definisi, oleh itu, setiap nombor keseluruhan juga merupakan nombor rasional.

Nisbah dua nombor besar seperti (129,367,871)/(547,724,863) juga akan menjadi contoh nombor rasional atas sebab mudah bahawa kedua-dua pengangka dan penyebutnya adalah nombor keseluruhan.

Sebaliknya, apa-apa nombor yang tidak boleh dinyatakan dalam bentuk pecahan atau nisbah disebut sebagai tidak rasional. Contoh yang paling sering disebut nombor tidak rasional adalah √2 (1.414213...). Satu lagi contoh popular nombor tidak rasional adalah pemalar berangka π (3.141592 ... ).

Nombor tidak rasional boleh ditulis sebagai perpuluhan, tetapi bukan sebagai pecahan. Nombor irasional tidak sering digunakan dalam kehidupan seharian walaupun terdapat pada baris nombor. Terdapat nombor tidak rasional yang tidak terhingga antara 0 dan 1 pada baris nombor. Nombor tidak rasional mempunyai angka tidak berulang yang tidak berkesudahan di sebelah kanan titik perpuluhan.

Perhatikan bahawa nilai yang sering disebut 22/7 untuk pemalar π sebenarnya hanya satu nilai π. Secara takrif, lingkaran bulatan dibahagi dua kali jejarinya ialah nilai π. Ini membawa kepada pelbagai nilai π, termasuk tetapi tidak terhad kepada, 333/106, 355/113 dan sebagainya1.

Hanya akar persegi nombor persegi; iaitu, akar kuadrat dataran yang sempurna adalah rasional.

√1= 1 (Rasional)

√2 (Irrational)

√3 (Irrational)

√4 = 2 (Rasional)

√5, √6, √7, √8 (Irrational)

√9 = 3 (Rasional) dan sebagainya.

Selanjutnya, kita perhatikan bahawa, hanya yang nth nKuasa-Ku adalah rasional. Oleh itu, 6th akar dari 64 adalah rasional, kerana 64 ialah 6th kuasa, iaitu 6th kuasa 2. Tetapi 6th akar dari 63 tidak rasional. 63 tidak sempurna 6th kuasa.

Tidak dapat dielakkan, perwakilan perpuluhan tak rasional datang ke dalam gambar dan menimbulkan beberapa hasil yang menarik.

Apabila kita menyatakan a rasional nombor sebagai perpuluhan, maka perpuluhan itu akan sama tepat (seperti dalam 1/5= 0.20) atau ia akan menjadi tidak tepat (seperti dalam, 1/3 ≈ 0.3333). Dalam kedua-dua kes, terdapat pola digit yang dapat diprediksi. Perhatikan bahawa apabila tidak rasional nombor dinyatakan sebagai perpuluhan, maka jelasnya akan tidak tepat, kerana sebaliknya, angka itu akan rasional.

Selain itu, tidak akan ada corak digit yang boleh diramal. Sebagai contoh,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Sekarang, dengan nombor rasional, kita kadang-kadang temui 1/11 = 0.0909090.

Penggunaan kedua-dua tanda yang sama=) dan tiga titik (ellipsis) menunjukkan bahawa walaupun tidak dapat dinyatakan 1/11 sama seperti perpuluhan, kita masih boleh menganggarkannya dengan bilangan digit perpuluhan seperti yang dibenarkan untuk mendekati 1/11.

Oleh itu, bentuk perpuluhan dari 1/11 dianggap tidak tepat. Dengan tanda yang sama, bentuk perpuluhan  ¼ yang adalah 0.25, adalah tepat.

Datang ke bentuk perpuluhan untuk nombor tidak rasional, mereka akan sentiasa tidak tepat. Teruskan dengan contoh √2, apabila kita menulis √2 = 1.41421356237... (perhatikan penggunaan ellipsis), ia segera membayangkan bahawa tiada perpuluhan untuk √2 akan tepat. Selanjutnya, tidak akan ada corak digit yang boleh diramal. Menggunakan konsep dari kaedah berangka, sekali lagi, kita boleh rasional anggaran untuk bilangan digit perpuluhan sehingga titik seperti itu kita dekat √2.

Apa-apa nota pada nombor rasional dan tidak rasional tidak boleh berakhir tanpa bukti wajib mengapa √2 tidak rasional. Dengan berbuat demikian, kami juga menjelaskan, contoh klasik a bukti oleh contradikal.

Katakan √2 adalah rasional. Ini membawa kita untuk mewakilinya sebagai nisbah dua bulat, katakanlah p dan q.

√2 = p / q

Tidak perlu dikatakan, p dan q tidak mempunyai faktor yang sama, kerana jika ada faktor yang sama, kita akan membatalkannya daripada pengangka dan penyebut.

Squaring kedua-dua belah persamaan, kita berakhir dengan,

2 = p2 / q2

Ini boleh ditulis dengan mudah sebagai,

p2 = 2q2

Persamaan terakhir menunjukkan bahawa p2 sudah pun. Ini hanya mungkin jika p itu sendiri. Ini seterusnya membayangkan bahawa p2 boleh dibahagikan dengan 4. Oleh itu, q2 dan akibatnya q mesti ada. Jadi p dan q kedua-duanya pun adalah percanggahan kepada andaian awal bahawa mereka tidak mempunyai faktor yang sama. Oleh itu, √2 tidak boleh rasional. Q.E.D.