Perbezaan Antara Urutan Aritmetik dan Urutan Geometri

Urutan Aritmetik vs Urutan Geometri
 

Kajian corak nombor dan perilaku mereka adalah kajian penting dalam bidang matematik. Selalunya corak ini dapat dilihat dalam alam semula jadi dan membantu kita menerangkan tingkah laku mereka dalam pandangan saintifik. Jujukan aritmetik dan jujukan Geometrik adalah dua corak asas yang berlaku dalam bilangan, dan sering dijumpai dalam fenomena semulajadi.

Urutan adalah satu set nombor yang diperintahkan. Bilangan unsur dalam urutan boleh sama ada terhingga atau tak terhingga.

Lebih lanjut mengenai Urutan Aritmetik (Arithmetric Progression)

Jujukan aritmetik didefinisikan sebagai jujukan angka dengan perbezaan berterusan antara setiap jujukan berturut-turut. Ia juga dikenali sebagai perkembangan aritmetik.

Aritmetik Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄,..., a_n ; di mana a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, dan sebagainya.

Jika jangka awal adalah a₁ dan perbezaan biasa ialah d, maka n^th tempoh jujukan diberikan oleh;

a_n = a₁ + (n-1) d

Dengan mengambil keputusan di atas selanjutnya, n^th Istilah boleh diberikan juga sebagai;

a_n = a_m + (n-m) d, di mana a_m adalah istilah rawak dalam turutan sedemikian sehingga n> m.

Set nombor dan nombor ganjil adalah contoh paling mudah bagi urutan aritmetik, di mana setiap jujukan mempunyai perbezaan yang sama (d) daripada 2.

Bilangan istilah dalam urutan boleh sama ada tak terhingga atau terhingga. Dalam kes tak terhingga (n → ∞), urutannya cenderung tak terhingga bergantung kepada perbezaan biasa (a_n → ± ∞). Sekiranya perbezaan yang sama adalah positif (d> 0), jujukan tersebut cenderung kepada tak terhingga positif dan, jika perbezaan biasa adalah negatif (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Jumlah istilah dalam urutan aritmetik dikenali sebagai siri aritmetik: S_n= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} a_i; dan S_n = (n / 2) (a₁ + a_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] memberikan nilai siri (S_n).

Lebih lanjut mengenai Sequence Geometric (Geometric Progression)

Jujukan geometrik ditakrifkan sebagai urutan di mana kuadrat dari mana-mana dua istilah berturut-turut adalah malar. Ini juga dikenali sebagai perkembangan geometri.

Urutan geometri ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄,..., a_n; di mana a₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r, dan sebagainya, di mana r ialah nombor sebenar.

Ia lebih mudah untuk mewakili urutan geometri menggunakan nisbah umum (r) dan istilah awal (a). Oleh itu, urutan geometrik ⇒ a₁, a₁r, a₁r², a₁r³,..., a₁r^n-1.

Bentuk umum n^th syarat yang diberikan oleh a_n = a₁r^n-1. (Kehilangan subskrip istilah awal ⇒ a_n = ar^n-1)

Urutan geometri juga boleh terhingga atau tidak terhingga. Sekiranya bilangan istilah adalah terhingga, urutannya dikatakan terhingga. Dan jika istilah tidak terbatas, urutan boleh sama ada tak terhingga atau terhingga bergantung kepada nisbah r. Nisbah umum mempengaruhi banyak sifat dalam urutan geometri. 

r> o	0 < r < +1	Urutan menumpu - peluruhan eksponen, iaitu: an → 0, n → ∞
	r = 1	Urutan yang berterusan, iaitu: an = berterusan
	r> 1	The Sequence diverges - pertumbuhan eksponen, iaitu: an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Urutan itu berayun, tetapi menumpuk
	r = 1	Urutan ini bersilih ganti dan tetap, iaitu: an = ± malar
	r < -1	Urutan itu seli dan menyimpang. iaitu: an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Urutan adalah rentetan sifar

N.B: Dalam semua kes di atas, a₁ > 0; sekiranya₁ < 0, the signs related to a_n akan terbalik.

Selang masa di antara bouncing bola mengikuti urutan geometri dalam model ideal, dan ia adalah urutan konvergen.

Jumlah istilah jujukan geometri dikenali sebagai siri geometri; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} arⁱ. Jumlah siri geometri boleh dikira menggunakan formula berikut.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); di mana a adalah istilah awal dan r adalah nisbah.

Jika nisbah, r ≤ 1, siri ini menumpu. Untuk siri tak terhingga, nilai penumpuan diberikan oleh S_n = a / (1-r) 

Apakah perbezaan antara Urutan Aritmetik dan Geometri / Kemajuan?

• Dalam urutan aritmetik, mana-mana dua istilah berturut-turut mempunyai perbezaan yang sama (d) manakala, dalam urutan geometri, mana-mana dua istilah berturut-turut mempunyai kuantiti tetap (r).

• Dalam urutan aritmetik, variasi istilah adalah linear, iaitu garis lurus boleh ditarik melalui semua mata. Dalam siri geometri, variasi itu adalah eksponen; sama ada tumbuh atau merosot berdasarkan nisbah biasa.

• Kesemua urutan aritmetik tak terhingga adalah berbeza, manakala siri geometri tak terhingga boleh sama ada berbeza atau konvergen.

• Siri geometri boleh menunjukkan ayunan jika r nisbah negatif manakala siri aritmetik tidak memaparkan ayunan