Perbezaan Antara Derivatif dan Pembezaan

Derivatif vs Berbeza
 

Dalam kalkulus kebezaan, derivatif dan pembezaan fungsi adalah berkait rapat tetapi mempunyai makna yang sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua objek penting matematik yang berkaitan dengan fungsi yang berbeza.

Apa derivatif?

Derivatif fungsi mengukur kadar di mana nilai fungsi berubah apabila inputnya berubah. Dalam fungsi pelbagai variabel, perubahan dalam nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai-nilai pembolehubah bebas. Oleh itu, dalam keadaan sedemikian, arah khusus dipilih dan fungsi dibezakan dalam arah yang tertentu. Derivatif itu dipanggil derivatif arah. Derivatif separa adalah jenis derivatif arah khas.

Derivatif fungsi bernilai vektor f boleh ditakrifkan sebagai had di mana sahaja ia wujud. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Dalam kes fungsi tunggal yang bernilai, ini akan mengurangkan takrif terkenal derivatif,  

Sebagai contoh, di mana-mana boleh dibezakan, dan derivatif adalah sama dengan had, , yang sama dengan . Derivatif fungsi seperti   wujud di mana-mana. Mereka masing-masing sama dengan fungsi .                                                                                

Ini dikenali sebagai derivatif pertama. Biasanya fungsi derivatif pertama f dilambangkan oleh f ⁽¹⁾. Sekarang menggunakan notasi ini, mungkin untuk menentukan derivatif pesanan yang lebih tinggi. adalah derivatif arah urutan kedua, dan menandakan n^th derivatif oleh f ⁽ⁿ⁾ untuk setiap n, ,  mentakrifkan n^th derivatif.

Apakah perbezaannya?

Pembezaan fungsi mewakili perubahan dalam fungsi berkenaan dengan perubahan dalam pembolehubah atau pembolehubah bebas. Dalam notasi biasa, untuk fungsi yang diberikan f pembolehubah tunggal x, jumlah perbezaan pesanan 1 df ialah diberikan oleh, . Ini bermakna bahawa untuk perubahan kecil dalam x(iaitu dx), akan ada a  f ⁽¹⁾(x) dx perubahan dalam f.

Menggunakan batasan satu boleh berakhir dengan definisi ini seperti berikut. Anggapkan Δx adalah perubahan dalam x pada titik sewenang-wenangnya x dan Δf adalah perubahan yang sama dalam fungsi f. Ia boleh ditunjukkan bahawa Δf = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, di mana ε ialah ralat. Sekarang, had Δx →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (menggunakan definisi derivatif yang dinyatakan sebelum ini) dan oleh itu, Δx →0^ε/_Δx= 0. Oleh itu, adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa, Δx →0ε = 0. Sekarang, menandakan Δx →0 Δf sebagai df dan Δx →0 Δx sebagai dx takrif pembezaan diperolehi dengan ketat. 

Sebagai contoh, perbezaan fungsi tersebut adalah .

Dalam kes fungsi dua atau lebih pemboleh ubah, jumlah pembezaan fungsi ditakrifkan sebagai jumlah perbezaan dalam arah setiap pembolehubah bebas. Matematik, ia boleh dinyatakan sebagai .