Perbezaan Antara Persamaan Berbeza Linear dan Nonlinear

Persamaan Berbeza Linear vs Nonlinear
 

Persamaan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pekali kebezaan atau derivatif pembolehubah tidak diketahui dikenali sebagai persamaan kebezaan. Persamaan kebezaan boleh sama ada linear atau tidak linear. Skop artikel ini adalah untuk menjelaskan apa persamaan pembezaan linear, persamaan pembezaan bukan linear, dan apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linier dan tak linear.

Sejak perkembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh para ahli matematik seperti Newton dan Leibnitz, persamaan pembezaan telah memainkan peranan penting dalam kisah matematik. Persamaan pembezaan sangat penting dalam matematik kerana pelbagai aplikasi mereka. Persamaan pembezaan adalah di tengah-tengah setiap model yang kami bangun untuk menerangkan sebarang senario atau peristiwa di dunia sama ada dalam fizik, kejuruteraan, kimia, statistik, analisis kewangan, atau biologi (senarai itu tidak berkesudahan). Malah, sehingga kalkulus menjadi teori yang kukuh, alat-alat matematik yang betul tidak dapat digunakan untuk menganalisis masalah-masalah yang menarik di alam.

Hasil persamaan dari suatu aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat kompleks dan kadangkala tidak dapat diselesaikan. Walau bagaimanapun, ada yang dapat kita selesaikan, tetapi mungkin kelihatan sama dan mengelirukan. Oleh itu, untuk persamaan pembezaan identifikasi yang lebih mudah dikategorikan oleh tingkah laku matematik mereka. Linear dan bukan linear adalah satu pengkategorian. Adalah penting untuk mengenal pasti perbezaan antara persamaan pembezaan linier dan tak linear.

Apakah Persamaan Pembezaan Linear??

Sepatutnya begitu f: X → Y dan f (x) = y, a persamaan kebezaan tanpa syarat tak linear fungsi tidak diketahui y dan derivatifnya dikenali sebagai persamaan kebezaan linear.

Ia mengenakan syarat bahawa y tidak boleh mempunyai istilah indeks yang lebih tinggi seperti y², y³,... dan gandaan derivatif seperti 

Ia juga tidak boleh mengandungi istilah bukan linear seperti Sin y, e^{y^ -2}, atau ln y. Ia mengambil borang, 

di mana y dan g adalah fungsi x. Persamaan adalah persamaan pembezaan pesanan n, iaitu indeks derivatif tertib tertinggi.

Dalam persamaan kebezaan linear, operator pembezaan adalah pengendali linear dan penyelesaian membentuk ruang vektor. Sebagai hasil daripada sifat linear penyelesaian penyelesaian, gabungan penyelesaian linear juga penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Iaitu, jika y₁ dan y₂ adalah penyelesaian persamaan kebezaan, maka C₁ y₁+ C₂ y₂ juga merupakan penyelesaian.

Linearity persamaan hanya satu parameter klasifikasi, dan ia dapat selanjutnya dikategorikan ke dalam persamaan pembezaan homogen atau tidak homogen dan persamaan pembezaan biasa atau separa. Jika fungsi itu g= 0 maka persamaan adalah persamaan pembezaan homogen homogen. Jika f adalah fungsi dua atau lebih pembolehubah bebas (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y , maka persamaan adalah persamaan pembezaan separa linear.

Kaedah penyelesaian bagi persamaan pembezaan bergantung kepada jenis dan koefisien persamaan kebezaan. Kes yang paling mudah timbul apabila pekali adalah tetap. Contoh klasik untuk kes ini ialah hukum gerakan Newton yang kedua dan pelbagai aplikasinya. Undang-undang kedua Newton menghasilkan persamaan pembezaan linier urutan kedua dengan pekali malar.

Apakah Persamaan Pembezaan Nonlinear??

Persamaan yang mengandungi istilah bukan linear dikenali sebagai persamaan kebezaan bukan linear.

 

Semua di atas adalah persamaan pembezaan bukan linear. Persamaan pembezaan tidak linear sukar untuk diselesaikan, oleh itu, kajian yang rapat diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Dalam kes persamaan pembezaan separa, kebanyakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian umum. Oleh itu, setiap persamaan perlu dirawat secara berasingan.

Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamik bendalir, persamaan medan Einstein tentang relativiti umum adalah persamaan pembezaan separa tak linear yang diketahui. Kadang-kadang penerapan persamaan Lagrange kepada sistem pembolehubah boleh menyebabkan sistem persamaan pembezaan separa tidak linear.

Apakah perbezaan antara Persamaan Berbeza Linear dan Nonlinear??

• Persamaan kebezaan, yang hanya mempunyai garis lurus bagi pembolehubah tidak diketahui atau bergantung dan derivatifnya, dikenali sebagai persamaan kebezaan linear. Ia tidak mempunyai istilah dengan indeks indeks yang bergantung kepada lebih tinggi daripada 1 dan tidak mengandungi pelbagai derivatifnya. Ia tidak boleh mempunyai fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma berkaitan dengan pemboleh ubah bergantung. Sebarang persamaan kebezaan yang mengandungi terma yang dinyatakan di atas adalah persamaan kebezaan tak linear.

• Penyelesaian persamaan kebezaan linear mewujudkan ruang vektor dan pengendali pembezaan juga merupakan pengendali linear dalam ruang vektor.

• Penyelesaian persamaan kebezaan linear agak mudah dan penyelesaian umum wujud. Untuk persamaan tak linear, dalam kebanyakan kes, penyelesaian am tidak wujud dan penyelesaiannya mungkin menjadi masalah khusus. Ini menjadikan penyelesaian lebih sukar daripada persamaan linear.