Perbezaan Antara Orthogonal dan Orthormal

Orthogonal vs Orthonormal

Dalam matematik, kedua-dua perkataan ortogonal dan orthonormal sering digunakan bersama dengan satu set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam erti bahawa ia adalah elemen ruang vektor - struktur algebra yang digunakan dalam aljabar linear. Untuk perbincangan kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalaman - ruang vektor V bersama-sama dengan produk dalaman [] ditakrifkan pada V.

Sebagai contoh, untuk produk dalaman, ruang adalah set semua vektor posisi 3-dimensi bersama dengan produk titik biasa.

Apa ortogonal?

A subset tanpa pengecualian S dari ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika bagi setiap berbeza u, v dalam S, [u, v] = 0; iaitu produk dalam u dan v sama dengan sifar sifar dalam ruang produk dalam.

Contohnya, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahawa, bagi setiap pasangan vektor posisi yang berbeza p dan q di S, p dan q berserenjang antara satu sama lain. (Ingatlah bahawa produk dalam ruang vektor ini adalah produk dot. Juga, produk titik dua vektor sama dengan 0 jika dan hanya jika dua vektor berserenjang antara satu sama lain.)

Pertimbangkan set itu S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), yang merupakan subset dari vektor kedudukan 3-dimensi. Perhatikan bahawa (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Oleh itu, set S adalah ortogonal. Khususnya, dua vektor dikatakan ortogonal jika produk dalamannya adalah 0. Oleh itu, setiap pasangan vektor dalam Sadalah ortogonal.

Apa itu orthonormal?

A subset tanpa pengecualian S dari ruang produk dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S adalah ortogonal dan bagi setiap vektor u dalam S, [u, u] = 1. Oleh itu, dapat dilihat bahawa setiap set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.

Contohnya, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahawa, bagi setiap pasangan vektor posisi yang berbeza p dan q dalam S, p dan q berserenjang antara satu sama lain, dan untuk masing-masing p dalam S, | p | = 1. Ini kerana keadaan ini [p, p] = 1 mengurangkan kepada p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, yang bersamaan dengan | p | = 1. Oleh itu, diberikan set ortogonal kita boleh membentuk set orthonormal yang sama dengan membahagikan setiap vektor dengan magnitudnya.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) adalah subset orthonormal dari set semua vektor kedudukan 3-dimensi. Ia mudah dilihat bahawa ia diperoleh dengan membahagi setiap vektor dalam set S, oleh magnitud mereka.

Apakah perbezaan antara ortogonal dan orthonormal?

• A subset tanpa pengecualian S dari ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika bagi setiap perbezaan u, v dalam S, [u, v] = 0. Walau bagaimanapun, adalah orthonormal, jika dan hanya jika syarat tambahan - bagi setiap vektor u dalam S, [u, u] = 1 berpuas hati.
• Mana-mana set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
• Mana-mana set ortogonal sepadan dengan set ortonormal yang unik tetapi set ortonormal mungkin sesuai dengan banyak set ortogonal.