Perbezaan Antara Seri Kuasa dan Siri Taylor

Power Series vs Taylor Series

Dalam matematik, urutan sebenar ialah senarai nombor yang diperintahkan. Secara rasmi, ia adalah fungsi dari set nombor semula jadi ke set nombor nyata. Jika a_nadalah n^th jangka jujukan, kami menunjukkan jujukan oleh atau oleh a₁, a₂,..., a_n,... Sebagai contoh, pertimbangkan urutan 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,.... Ia boleh dilambangkan sebagai 1 / n.

Adalah mungkin untuk menentukan siri menggunakan urutan. Satu siri adalah jumlah terma urutan. Oleh itu, bagi setiap urutan, terdapat urutan yang bersekutu dan sebaliknya. Sekiranya_n adalah urutan yang sedang dipertimbangkan, kemudian, siri yang dibentuk oleh urutan itu boleh diwakili sebagai:                                           

 Oleh itu, dalam contoh di atas, siri yang berkaitan ialah 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Seperti namanya, siri kuasa adalah jenis siri khas dan digunakan secara meluas dalam Analisis Berangka dan pemodelan matematik yang berkaitan. Siri siri adalah siri kuasa khas yang menyediakan cara alternatif dan mudah untuk memanipulasi fungsi yang terkenal.

Apakah siri Power?

Siri kuasa adalah satu siri bentuk

    

yang konvergen (mungkin) untuk beberapa selang berpusat di c. Koefisien a_n boleh menjadi bilangan sebenar atau kompleks, dan bebas daripada x; i.e. pembolehubah dummy.

Sebagai contoh, dengan menetapkan a_n= 1 untuk setiap satu n, dan c = 0, siri kuasa 1 + x + x²+... + xⁿ+... diperolehi. Adalah mudah untuk memerhatikan bahawa apabila x ε (-1,1), siri kuasa ini menumpu kepada 1 / (1 x).          

Siri kuasa menumpu apabila x = c. Nilai lain dari x yang mana siri kuasa converges akan sentiasa mengambil bentuk selang terbuka berpusat di c. Itu dia, akan ada nilai 0 ≤ R ≤ ∞ sedemikian rupa untuk setiap x memuaskan | x-c | ≤R, siri kuasa adalah konvergen dan bagi setiap x  memuaskan | x-c |>R, siri kuasa adalah berbeza. Nilai ini R dipanggil radius penumpuan siri kuasa (R boleh mengambil apa-apa nilai sebenar atau tak terhingga positif).

Siri kuasa boleh ditambah, dikurangkan, didarabkan dan dibahagikan menggunakan peraturan berikut. Pertimbangkan dua siri kuasa:       

   

                               .

Kemudian,                 

i.e. seperti istilah ditambah atau ditolak bersama. Juga, mungkin untuk membiak dan membahagikan dua siri kuasa menggunakan identiti,

Apakah siri Taylor??

Siri Taylor ditakrifkan untuk satu fungsi f(x) yang tidak dapat dibezakan pada selang waktu. Anggap f(x) boleh dibezakan pada jarak yang berpusat di c. Kemudian siri kuasa yang diberikan oleh

                                                                                                                                

dipanggil pengembangan siri Taylor fungsi tersebut f(x) mengenai c. (Di sini f⁽ⁿ⁾(c) Menandakan n^th derivatif di x = c). Dalam Analisis Berangka, sebilangan istilah dalam pengembangan tak terhingga ini digunakan dalam mengira nilai-nilai di titik-titik di mana siri itu konvergen kepada fungsi asal.

Fungsi f(x) dikatakan sebagai analitik dalam selang waktu (a, b), jika bagi setiap x ε (a, b), siri Taylor daripada f(x) menumpu kepada fungsi f(x). Sebagai contoh, 1 / (1-x) adalah analitik pada (-1,1), kerana pengembangan Taylor 1 + x + x²+... + xⁿ+... menumpu kepada fungsi pada selang itu, dan e^x  adalah analisis di mana-mana, kerana siri Taylor of e^xmenumpukan kepada e^x untuk setiap nombor sebenar x.

Apakah perbezaan antara siri Power dan siri Taylor?

1. Siri Taylor adalah kelas khas siri kuasa yang ditakrifkan hanya untuk fungsi-fungsi yang tidak dapat dibezakan di beberapa selang terbuka.

2. Siri Taylor mengambil borang khas

        

sedangkan, satu siri kuasa boleh menjadi satu siri bentuk