Perbezaan Antara Riemann Integral dan Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi merupakan topik utama dalam kalkulus. Dalam pengertian broder, integrasi dapat dilihat sebagai proses pembalikan yang terbalik. Apabila memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ekspresi yang melibatkan derivatif. Dalam situasi sedemikian, operasi integrasi diperlukan untuk mencari fungsi, yang memberikan derivatif tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah satu proses, yang merangkumi produk fungsi ƒ (x) dan δx, di mana δx cenderung menjadi had tertentu. Inilah sebabnya, kita menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol ∫ sebenarnya, apa yang kami peroleh dengan meregangkan huruf s untuk merujuk kepada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan satu fungsi y = ƒ (x). Integral y antara a dan b, di mana a dan b tergolong dalam set x, ditulis sebagai _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). Ini dipanggil integral pasti fungsi bernilai dan berterusan tunggal y = ƒ (x) antara a dan b. Ini memberikan kawasan di bawah lengkung antara a dan b. Ini juga dikenali sebagai Riemann integral. Integral Riemann dicipta oleh Bernhard Riemann. Riemann integral fungsi yang berterusan adalah berdasarkan ukuran Jordan, oleh itu, ia juga ditakrifkan sebagai had Riemann fungsi. Untuk fungsi nilai sebenar yang ditakrifkan pada selang tertutup, integral Riemann fungsi berkenaan dengan partition x₁, x₂,..., x_n ditakrifkan pada selang [a, b] dan t₁, t₂,..., t_n, di mana x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} bagi setiap i ε 1, 2, ..., n, jumlah Riemann ditakrifkan sebagai Σ_{i = o ke n-1} ƒ (t_i) (x_{i + 1} - x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue adalah satu lagi jenis integral, yang merangkumi pelbagai kes daripada integral Riemann. Integral lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue dapat dipertimbangkan sebagai generalisasi integrasi Riemann.

Kenapa kita perlu belajar lagi penting?

Marilah kita pertimbangkan fungsi ciri ƒ_{A (x) = 0 jika, x tidak ε A}^{1 jika, x ε A} pada set A. Kemudian kombinasi linear terhingga fungsi ciri, yang ditakrifkan sebagai F(x) = Σ a_iƒE_i(x) dipanggil fungsi mudah jika E_i boleh diukur untuk setiap i. The Lebesgue integral daripada F(x) lebih E dilambangkan oleh _E∫ ƒ (x) dx. Fungsinya F(x) bukan Riemann boleh diamanahkan. Oleh itu, integrasi Lebesgue adalah mengulangi Riemann integral, yang mempunyai beberapa sekatan ke atas fungsi yang akan diintegrasikan.