Perbezaan Antara Integriti Tak Terhentu dan Tak Terbatas

Kalkulus adalah cabang matematik yang penting, dan pembezaan memainkan peranan penting dalam kalkulus. Proses songsang pembezaan dikenali sebagai integrasi, dan sebaliknya dikenali sebagai integral, atau hanya meletakkan, kebalikan dari pembezaan memberikan integral. Berdasarkan hasilnya, mereka menghasilkan integral dibahagikan kepada dua kelas iaitu, integral pasti dan tak terbatas.

Pasti penting

Integral pasti dari f (x) adalah NUMBER dan mewakili kawasan di bawah lengkung f (x) dari x = a kepada x = b.

Integral pasti mempunyai had atas dan bawah pada integral, dan ia dipanggil pasti kerana, pada akhir masalah, kita mempunyai nombor - itu adalah jawapan pasti.

Integriti tidak terbatas

Integral tidak terbatas f (x) adalah FUNGSI dan menjawab soalan, "Apa fungsi apabila dibezakan memberi f (x)?"

Dengan integral tidak terbatas tidak ada batasan atas dan bawah pada integral di sini, dan apa yang akan kita dapatkan adalah jawapan yang masih ada xdi dalamnya dan juga akan tetap (biasanya dilambangkan oleh C) di dalamnya.

Integral tidak terbatas biasanya memberikan penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan.

Integral tidak terbatas adalah lebih daripada bentuk integrasi umum, dan ia boleh ditafsirkan sebagai anti-derivatif fungsi yang dipertimbangkan.

Anggap pembezaan fungsi F membawa kepada fungsi lain f, dan integrasi f memberikan integral. Secara simbolik, ini ditulis sebagai

F (x) = ∫ƒ (x) dx

atau

F = ∫ƒ dx

di mana kedua-duanya F dan ƒ adalah fungsi x, dan F adalah berbeza. Dalam bentuk di atas, ia dipanggil Reimann integral dan fungsi yang dihasilkan mengiringi pemalar sewenang-wenangnya.

Integral tidak selalunya sering menghasilkan keluarga fungsi; Oleh itu, integral tidak terbatas.

Proses integral dan integrasi adalah di tengah-tengah menyelesaikan persamaan kebezaan. Walau bagaimanapun, tidak seperti langkah-langkah dalam pembezaan, langkah dalam integrasi tidak selalu mengikut rutin yang jelas dan standard. Kadang-kadang, kita melihat bahawa penyelesaian itu tidak boleh dinyatakan dengan jelas dari segi fungsi asas. Dalam hal ini, penyelesaian analitik sering diberikan dalam bentuk integral tidak terbatas.

Teorem asas Kalkulus

Integral yang pasti dan tidak pasti dikaitkan dengan Teorem Asas Kalkulus seperti berikut: Untuk menghitung satu integral pasti, cari tidak penting (juga dikenali sebagai anti-derivatif) fungsi dan menilai pada titik akhir x = a dan x = b.

Perbezaan antara integral pasti dan tak terbatas akan terbukti apabila kita menilai integral untuk fungsi yang sama.

Pertimbangkan integral berikut:

OKEY. Mari kita lakukan kedua-dua mereka dan lihat perbezaannya.

Untuk penyepaduan, kita perlu menambah satu indeks yang membawa kita kepada ungkapan berikut:

Pada masa ini C adalah semata-mata yang berterusan kepada kita. Maklumat tambahan diperlukan dalam masalah ini untuk menentukan nilai tepat C.

Marilah kita menilai integral yang sama dalam bentuk yang pasti iaitu, dengan had atas dan bawah yang disertakan.

Secara grafik, kita kini mengira kawasan di bawah lengkung f (x) = y³ antara y = 2 dan y = 3.

Langkah pertama dalam penilaian ini adalah sama dengan penilaian integral tidak terbatas. Satu-satunya perbezaan adalah bahawa kali ini kita tidak menambah pemalar C.

Ungkapan dalam hal ini kelihatan seperti berikut:

Ini beralih kepada:

Pada dasarnya, kami menggantikan 3 dan kemudian 2 dalam ungkapan dan memperoleh perbezaan di antara mereka.

Ini adalah nilai yang pasti berbanding dengan penggunaan tetap C lebih awal.

Mari kita meneroka faktor yang berterusan (berkaitan dengan integral tidak terbatas) dalam beberapa butiran lanjut.

Jika perbezaan y³ adalah 3y², kemudian

∫3y²dy = y³

Walau bagaimanapun, 3y² boleh menjadi pembezaan banyak ungkapan yang sebahagiannya termasuk y³-5, y³+7, dan lain-lain ... Ini membayangkan bahawa pembalikan tidak unik kerana pemalar tidak dapat dijumpai semasa operasi.

Jadi pada umumnya, 3y² adalah perbezaan y³+C di mana C adalah pemalar. Secara kebetulan, C dikenali sebagai 'pemantapan berterusan'.

Kami menulis ini sebagai:

∫ 3y².dx = y³ + C

Teknik penyepaduan untuk integral yang tidak pasti, seperti paparan jadual atau integrasi Risch, boleh menambah ketakselanjaran baru semasa proses penyepaduan. Ketidakseimbangan baru ini muncul kerana anti-derivatif boleh memerlukan pengenalan logaritma kompleks.

Logaritma kompleks mempunyai keterlambatan melompat apabila hujah melintasi paksi sebenar negatif, dan algoritma integrasi kadangkala tidak dapat mencari representasi di mana lompatan ini membatalkan.

Sekiranya integral pasti dinilai oleh pengkomputeran pertama yang tidak terbatas dan kemudian menggantikan sempadan integrasi ke dalam hasilnya, kita harus sedar bahawa integrasi tidak terbatas mungkin menghasilkan kekurangan. Sekiranya ia, selain itu, kita mesti menyiasat kekurangan dalam selang integrasi.