Perbezaan Antara Integrasi dan Penjumlahan

Integrasi melalui Penjumlahan
 

Di atas matematik sekolah tinggi, integrasi dan penjumlahan sering dijumpai dalam operasi matematik. Mereka nampaknya digunakan sebagai alat yang berbeza dan dalam situasi yang berbeza, tetapi mereka berkongsi hubungan yang sangat dekat.

Lebih lanjut mengenai Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi penambahan jujukan nombor dan operasi sering dilambangkan oleh huruf Yunani sigma modal Σ. Ia digunakan untuk meringkaskan penjumlahan dan sama dengan jumlah / jumlah jujukan tersebut. Mereka sering digunakan untuk mewakili siri, yang pada dasarnya adalah urutan yang tak terhingga disimpulkan. Mereka juga boleh digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks, atau polinomial.

Penjelasan biasanya dilakukan untuk pelbagai nilai yang boleh diwakili oleh istilah umum, seperti siri yang mempunyai istilah umum. Titik permulaan dan titik akhir penjumlahan dikenali sebagai sempadan bawah dan terikat atas penjumlahan, masing-masing.

Sebagai contoh, jumlah jujukan a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n ialah₁ + a₂ + a₃ +... + a_n yang boleh dengan mudah diwakili menggunakan notasi penjumlahan sebagai Σⁿ_{i = 1} a_i; i dipanggil indeks penjumlahan.

Banyak variasi digunakan untuk penjumlahan berdasarkan permohonan. Dalam beberapa kes, batas atas dan batas bawah boleh diberikan sebagai selang atau julat, seperti Σ_1≤i≤100 a_i dan Σ_{i∈ [1,100]} a_i. Atau ia boleh diberikan sebagai satu set nombor seperti Σ_i∈P a_i , di mana P adalah satu set yang ditetapkan.

Dalam beberapa kes, dua atau lebih tanda sigma boleh digunakan, tetapi mereka boleh digeneralisasikan seperti berikut; Σ_j Σ_k a_jk = Σ_{j, k} a_jk.

Juga, penjumlahan berikut banyak peraturan algebra. Oleh kerana operasi tertanam adalah penambahan, banyak peraturan umum algebra boleh digunakan untuk jumlah itu sendiri dan untuk istilah individu yang digambarkan oleh penjumlahan.

Lebih banyak mengenai Integrasi

Integrasi adalah didefinisikan sebagai proses pembalikan yang terbalik. Tetapi dalam pandangan geometri ia juga boleh dianggap sebagai kawasan yang dilampirkan oleh lengkung fungsi dan paksi. Oleh itu, pengiraan kawasan memberikan nilai integral yang pasti seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Sumber Imej: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Nilai integral pasti sebenarnya adalah jumlah jalur kecil di dalam lengkung dan paksi. Kawasan setiap jalur adalah ketinggian × lebar pada titik pada paksi yang dipertimbangkan. Lebar adalah nilai yang boleh kita pilih, katakan Δx. Dan ketinggian adalah kira-kira nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakanlah f(x_i). Daripada rajah, jelas bahawa jalur yang lebih kecil lebih baik dengan jalur yang sesuai di dalam kawasan yang terikat, dengan itu lebih baik anggaran nilai.

Oleh itu, secara umumnya integral pasti Saya, antara titik a dan b (i.e dalam selang [a, b] di mana aSaya ≅ f(x₁) Δx + f(x₂) Δx + ⋯ + f(x_n) Δx, di mana n adalah bilangan jalur (n = (b-a) / Δx). Penjumlahan kawasan ini boleh dengan mudah diwakili menggunakan notasi penjumlahan sebagai Saya ≅ Σⁿ_{i = 1} f(x_i) Δx. Oleh kerana anggaran lebih baik apabila Δx lebih kecil, kita boleh mengira nilai apabila Δx → 0. Oleh itu, adalah munasabah untuk mengatakan Saya = lim_{Δx → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_i) Δx.

Sebagai generalisasi dari konsep di atas, kita boleh memilih Δx berdasarkan selang yang diindeks oleh i (memilih lebar kawasan berdasarkan kedudukan). Kemudian kita dapat

Saya= lim_{Δx → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_i) Δx_i = _a∫^b f(x) dx

Ini dikenali sebagai fungsi Reimann Integral f(x) dalam selang [a, b]. Dalam hal ini a dan b dikenali sebagai batas atas dan batas bawah integral. Integral Reimann adalah satu bentuk asas bagi semua kaedah integrasi.

Pada intinya, integrasi adalah penjumlahan kawasan apabila lebar segiempat itu adalah kecil.

Apakah perbezaan antara Integrasi dan Penjumlahan?

• Penjumlahan menambah bilangan jujukan nombor. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam borang ini Σⁿ_{i = 1} a_i apabila istilah dalam turutan mempunyai corak dan boleh dinyatakan menggunakan istilah umum.

• Integrasi adalah pada dasarnya kawasan yang dibatasi oleh lengkung fungsi, paksi dan had atas dan bawah. Kawasan ini boleh diberikan sebagai jumlah kawasan-kawasan yang lebih kecil termasuk dalam kawasan yang terikat.

• Penjumlahan melibatkan nilai-nilai diskret dengan batas atas dan bawah, sedangkan integrasi melibatkan nilai berterusan.

• Integrasi boleh ditafsirkan sebagai bentuk penjumlahan khas.

• Dalam kaedah pengiraan berangka, integrasi sentiasa dilakukan sebagai penjumlahan.