Perbezaan Antara Laplace dan Transformasi Fourier

Laplace vs Fourier Transforms
 

Transformasi Laplace baik dan Transform Fourier adalah transformasi yang penting, yang paling biasa digunakan sebagai kaedah matematik untuk menyelesaikan sistem fizikal model matematik. Prosesnya mudah. Model matematik kompleks ditukarkan kepada model yang lebih mudah dan mudah diselaraskan menggunakan transformasi yang penting. Apabila model mudah diselesaikan, transformasi integral songsang digunakan, yang akan memberikan penyelesaian kepada model asal.

Sebagai contoh, kerana kebanyakan sistem fizikal menghasilkan persamaan pembezaan, mereka boleh ditukar kepada persamaan algebra atau untuk mendapatkan persamaan pembezaan yang mudah dilaraskan dengan menggunakan transformasi integral. Kemudian menyelesaikan masalah akan menjadi lebih mudah.

Apakah perubahan Laplace??

Memandangkan fungsi f (t) pembolehubah sebenar t, Transformasi Laplace ditakrifkan oleh integral (apabila ia wujud), yang merupakan fungsi pembolehubah kompleks s. Ia biasanya dilambangkan oleh L f (t). Transformasi Laplace songsang fungsi F(s) diambil untuk menjadi fungsi f (t) sedemikian rupa sehingga L f (t) = F(s), dan dalam notasi matematik yang biasa kita tulis, L ^-1F(s) = f (t).Transformasi songsang boleh dibuat unik jika fungsi null tidak dibenarkan. Satu boleh mengenal pasti kedua-dua ini sebagai pengendali linear yang ditakrifkan dalam ruang fungsi, dan juga mudah untuk melihatnya, L ^-1L f (t) = f (t), jika fungsi null tidak dibenarkan.

Jadual berikut menyenaraikan transformasi Laplace beberapa fungsi yang paling biasa.

Apakah transformasi Fourier??

Memandangkan fungsi f (t) pembolehubah sebenar t, Transformasi Laplace ditakrifkan oleh integral (apabila ia wujud), dan biasanya dilambangkan oleh F f (t). Transformasi songsang F ^-1F(α) diberikan oleh integral . Transformasi Fourier juga linear, dan boleh dianggap sebagai pengendali yang ditakrifkan dalam ruang fungsi.

Dengan menggunakan transformasi Fourier, fungsi asal boleh ditulis seperti berikut dengan syarat fungsi tersebut hanya mempunyai beberapa kekurangan dan mempunyai integrasi.

Apakah perbezaan antara Laplace dengan Fourier Transforms?

• Transformasi fungsi Fourier f (tdidefinisikan sebagai , manakala perubahan laplace itu ditakrifkan .
• Transformasi Fourier ditakrifkan hanya untuk fungsi yang ditakrifkan untuk semua nombor nyata, sedangkan transform Laplace tidak memerlukan fungsi yang ditetapkan pada menetapkan nombor nyata negatif.
• Transformasi Fourier adalah kes khas transform Laplace. Ia dapat dilihat bahawa kedua-dua bertepatan dengan nombor nyata bukan negatif. (iaitu mengambil s di Laplace untuk menjadi iα + β di mana α dan β benar seperti itu e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Setiap fungsi yang mempunyai transformasi Fourier akan mempunyai perubahan Laplace tetapi tidak sebaliknya.